¿Qué es un teselado?

Teselar: cubrir sin huecos ni solapes

Dicho con precisión: una teselación del plano es una familia de regiones cerradas cuya unión es todo el plano y cuyos interiores no se cortan dos a dos. Que dos piezas compartan borde está permitido; que se solapen, no.

Las más estudiadas usan polígonos y los colocan lado con lado: cada lado de un polígono coincide entero con un lado de su vecino. Si además todos los polígonos son regulares e iguales, la teselación se llama regular.

Por qué solo hay tres teselaciones regulares

Un polígono regular de n lados tiene ángulos interiores de (n − 2)·180°/n: 60° el triángulo, 90° el cuadrado, 108° el pentágono, 120° el hexágono. Si en cada vértice se juntan k copias, sus ángulos tienen que sumar exactamente 360°:

k · (n − 2)·180°/n = 360°, es decir, k = 2n/(n − 2).

Como 2n = 2(n − 2) + 4, el cociente solo es entero si n − 2 divide a 4: n − 2 vale 1, 2 o 4. Salen el triángulo (seis por vértice), el cuadrado (cuatro) y el hexágono (tres), y nada más. El pentágono falla por poco: tres ángulos de 108° suman 324° y dejan un hueco de 36°. A partir del heptágono los ángulos pasan de 120° y tres ya no caben.

Las teselaciones se nombran por lo que hay alrededor de un vértice: 3.3.3.3.3.3 para la de triángulos, 4.4.4.4 para la de cuadrados y 6.6.6 para la de hexágonos.

Las ocho semirregulares

Si se permiten varios polígonos regulares distintos, siempre lado con lado y con todos los vértices iguales (los mismos polígonos en el mismo orden alrededor de cada uno), aparecen exactamente ocho más: las teselaciones semirregulares o arquimedianas. Kepler ya describió las once en 1619, en Harmonices Mundi.

Hay 21 maneras de rodear un punto con polígonos regulares sin dejar huecos, pero solo 11 se pueden extender a todo el plano con todos los vértices iguales. En la notación de vértice, 3.4.6.4 significa: triángulo, cuadrado, hexágono y cuadrado, en ese orden.

La 3.3.3.3.6 es quiral: existe en dos versiones, cada una imagen especular de la otra, y ningún movimiento del plano lleva una sobre la otra.

Crea tu teselación

Elige una de las once teselaciones de polígonos regulares, uno de los 17 grupos de simetría con un motivo que puedes deformar, o una pieza a lo Escher; cambia colores y tamaño, y descárgala en PNG o en SVG para usarla en clase o donde quieras.

Con el generador puedes:

• ver las 3 teselaciones regulares y las 8 semirregulares;
• repetir un motivo con cualquiera de los 17 grupos de simetría y ver sus centros de giro y sus ejes;
• deformar un cuadrado o un hexágono, como hacía Escher, sin que deje de teselar;
• descargar el resultado en PNG o SVG.

Funciona en el navegador, con JavaScript activado.

Simetría: los 17 grupos del plano

Una simetría de un dibujo es un movimiento del plano que conserva las distancias (una isometría) y deja el dibujo igual que estaba. En el plano solo hay cuatro clases de isometrías: traslaciones, giros, reflexiones en una recta y reflexiones con deslizamiento (reflejar y después trasladar a lo largo del mismo eje, como las huellas al andar).

Las simetrías de un dibujo forman un grupo: componer dos simetrías da otra, no hacer nada es una simetría y cada simetría se puede deshacer con otra. Cuando entre ellas hay traslaciones en dos direcciones independientes, el dibujo es un papel pintado, y su grupo, un grupo cristalográfico plano. Salvo equivalencia hay exactamente 17; la lista la obtuvo Fedorov en 1891 y la redescubrieron Pólya y Niggli en 1924.

¿Por qué tan pocos? Por la restricción cristalográfica: un giro que conserva una red de traslaciones solo puede ser de orden 2, 3, 4 o 6. Escrito en la base de la red, el giro es una matriz de números enteros, así que su traza es entera; pero la traza de un giro de ángulo θ es 2·cos θ, y 2·cos θ solo es entero para θ = 180°, 120°, 90°, 60° (y 0°). No hay papeles pintados con simetría de orden 5.

Los nombres son la notación cristalográfica: p o c según la celda (primitiva o centrada), el número es el mayor orden de giro, m indica un espejo y g una reflexión con deslizamiento.

«Deslizamientos» cuenta solo los ejes de reflexión con deslizamiento que no son a la vez espejos.

Escher: teselar con figuras

M. C. Escher (1898-1972) llenó el plano de pájaros, peces y lagartos que encajan entre sí sin dejar huecos. Su visita a la Alhambra en 1936, donde copió muchos alicatados, y el artículo de Pólya sobre los 17 grupos le dieron buena parte del método.

La idea básica es sencilla: parte de un polígono que tesela, por ejemplo un cuadrado. Deforma un lado como quieras y aplica la misma deformación, trasladada, al lado opuesto: lo que la pieza gana por un lado lo pierde por el otro, y sigue encajando con sus copias. Con un hexágono hay tres parejas de lados para deformar. Si en vez de trasladar giras la deformación alrededor del punto medio de un lado o de un vértice, aparecen piezas con otros grupos de simetría. El modo «A lo Escher» del generador hace la versión por traslación.

Sin repetirse nunca: Penrose y el sombrero

Todas las anteriores son periódicas: alguna traslación las deja iguales. En los años setenta Roger Penrose encontró parejas de piezas que teselan el plano, pero solo de forma no periódica: las cometas y dardos, y los rombos de la imagen, uno estrecho (36° y 144°) y uno ancho (72° y 108°). Sueltos, los dos rombos sí pueden formar mosaicos periódicos; lo que lo impide son unas reglas de encaje en los lados.

Una forma de construirlos es la subdivisión: cada rombo se parte en dos triángulos y cada triángulo se sustituye por otros más pequeños de los mismos dos tipos, con los lados divididos por la razón áurea φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,618. Al repetirlo, la proporción entre rombos anchos y estrechos se acerca a φ. Aparecen centros con simetría de orden 5, que la restricción cristalográfica prohíbe en un mosaico periódico.

Mosaico de Penrose de rombos generado por subdivisión. Con JavaScript puedes elegir el número de subdivisiones, ver los triángulos de cada rombo, contar cuántos anchos hay por cada estrecho y descargarlo.

Esto dejó de ser solo un juego en 1982, cuando Dan Shechtman observó en una aleación un orden con simetría prohibida para un cristal: los cuasicristales, por los que recibió el Nobel de Química en 2011.

Quedaba una pregunta: ¿existe una sola pieza que tesele el plano pero nunca de forma periódica? En 2023 David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan y Chaim Goodman-Strauss presentaron el sombrero, un polígono de 13 lados que lo consigue (usando también su imagen especular), y poco después el espectro, que ni siquiera la necesita.

La Alhambra

Los alicatados de la Alhambra de Granada, de los siglos XIII y XIV, son el ejemplo clásico de simetría plana hecha a mano. Cuántos de los 17 grupos aparecen allí se sigue discutiendo: depende de si se tiene en cuenta el color y de cuánto se perdonan las imperfecciones del trabajo artesanal, y según quién cuente salen trece o los diecisiete. En cualquier caso, la mayoría aparece, varios siglos antes de que nadie supiera que eran solo 17.

Lo que tiene que ver con la universidad

Todo lo anterior es matemática de los primeros cursos de carrera con otra ropa:

• Teoría de grupos. El conjunto de simetrías es un grupo; las traslaciones forman un subgrupo normal y el cociente es un grupo finito (el grupo puntual). Clasificar los 17 grupos es un ejercicio de grupos, subgrupos y acciones, lo que se ve en Estructuras Algebraicas.
• Álgebra lineal. Toda isometría del plano es x ↦ Ax + b con A ortogonal (AᵀA = I): si det A = 1 es una traslación o un giro; si det A = −1, una reflexión o una reflexión con deslizamiento. La restricción cristalográfica es un argumento de trazas y cambios de base, puro Álgebra Lineal.

Si estás con alguna de estas asignaturas y se te atasca, en clase empezamos por lo que te falta y lo trabajamos sobre ejercicios, a tu ritmo. Puedes ver las asignaturas de matemáticas que doy o pedir una clase de prueba gratuita para ver si te encaja cómo trabajo.