Clases particulares de Álgebra Lineal
¿Se te atascan la diagonalización, los cambios de base o discutir un sistema con parámetro? Dime qué asignaturas cursas y te diré si puedo ayudarte. Sin permanencia, y con una clase de prueba gratuita.
Si tu «Álgebra» es de grupos, anillos y cuerpos, tu página es Estructuras Algebraicas.
Qué asignaturas son
Esta página es para las asignaturas que se llaman así, o parecido:
- Álgebra Lineal
- Álgebra Lineal I
- Álgebra Lineal II
- Álgebra
- Álgebra Lineal y Geometría
- Álgebra y Geometría
- Álgebra y Geometría Lineales
- Geometría Lineal
- Álgebra Lineal y Multilineal
- Álgebra para la Gestión de los Datos
La tienen en primero casi todos los grados de ciencias e ingeniería: Matemáticas, Ingeniería Matemática, Física, Química, Ingeniería Informática y de Software, Ciencia de Datos e Inteligencia Artificial, ingenierías industriales, de telecomunicación, biomédica y aeroespacial, y también Economía.
Cómo trabajamos
Trabajamos sobre tu material: tus hojas de ejercicios, tus apuntes y los exámenes de otros años. El material puede estar en cualquier idioma; la clase es en castellano.
Puedes venir a clases sueltas para un tema (los cambios de base, la diagonalización, las formas cuadráticas) o seguir todo el curso, y llevar varias asignaturas a la vez. Si las matrices se te quedaron cojas en bachillerato, partimos de cero. Y si se acerca el examen y me lo pides, hacemos una preparación intensiva con exámenes anteriores.
En qué trabajamos más
- Sistemas lineales y rango: forma matricial, matriz ampliada, Gauss y, sobre todo, discutir un sistema según el valor de un parámetro.
- Espacios vectoriales: combinación lineal, sistema generador, independencia, bases y dimensión; subespacios en paramétricas e implícitas, suma e intersección y la fórmula de Grassmann.
- Coordenadas y cambio de base: las coordenadas de un vector en dos bases y las matrices de cambio en los dos sentidos.
- Aplicaciones lineales: matriz asociada en unas bases (también en espacios de polinomios), núcleo e imagen, rango con parámetro y, en los grados de Matemáticas, el espacio dual.
- Autovalores y diagonalización: polinomio característico, multiplicidad algebraica y geométrica, las matrices P y D, y la diagonalización con parámetro, que es lo que más se repite.
- Diagonalización ortogonal de matrices simétricas y su uso para clasificar cónicas.
- Formas cuadráticas: clasificación por menores principales o por autovalores, también con parámetro.
- Según el grado: geometría afín y euclídea y movimientos (Física, Matemáticas), o la descomposición en valores singulares, que tienes resuelta en una pizarra de la página de matemáticas.
Si tu asignatura es de álgebra lineal numérica (LU, métodos iterativos, mínimos cuadrados), mira también Métodos Numéricos.
Material descargable
Guías con ejemplos resueltos y ejercicios graduados, y formularios para tener a mano. En PDF, gratis y sin registro.
Diagonalización paso a paso
Autovalores, autovectores, cuándo una matriz diagonaliza y cómo calcular sus potencias.
Errores típicos
- Dividir por una expresión que depende del parámetro al hacer Gauss, sin apartar antes los valores que la anulan. Esos valores se estudian aparte, uno a uno.
- Dar por diagonalizable una matriz solo porque sus autovalores son reales. Con un autovalor doble hay que comprobar que su subespacio propio tiene dimensión 2: la multiplicidad geométrica tiene que ser igual a la algebraica.
- Usar el criterio de los menores principales cuando un menor vale cero. Ahí el criterio no decide, y la forma cuadrática se estudia directamente para ese valor del parámetro.
- Olvidar normalizar los autovectores en una diagonalización ortogonal: sin vectores unitarios, P no es ortogonal y Pᵗ no es su inversa. En la pizarra de abajo es el último paso.
- Escribir la matriz de cambio de base al revés, confundiendo la que pasa coordenadas de B a C con la que pasa de C a B. La segunda es la inversa de la primera.
- Tratar la unión de dos subespacios como si fuera su suma. W₁ ∪ W₂ casi nunca es un subespacio; el que los contiene a los dos es W₁ + W₂, y su dimensión sale de la fórmula de Grassmann.
En la pizarra: diagonalización ortogonal
Diagonalización ortogonal de una matriz simétrica 3×3: el polinomio característico, los autovalores −2, −1 y 3, un autovector de cada uno y, al normalizarlos, la matriz ortogonal que la diagonaliza. Es la pizarra de una clase real.
En la pizarra: cambio de base
Las coordenadas de un vector en dos bases de R² y las matrices de cambio de base en los dos sentidos, también entre dos bases que no son la canónica. Es la pizarra de una clase real.
Fíjate en las dos formas de obtener la matriz de B a B′: pasando por la base canónica o escribiendo cada vector de B en la base B′.
Opiniones de alumnos de matemáticas
Son reseñas de mi perfil de ClassGap, una plataforma de clases particulares: las ponen allí, sin que yo las controle, y las he clasificado por área según la asignatura de cada una.
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Preguntas frecuentes
- Mi asignatura se llama «Álgebra» y es de una ingeniería. ¿Es esta página?
- Casi siempre sí: en las ingenierías, «Álgebra» suele ser álgebra lineal (matrices, sistemas, espacios vectoriales, diagonalización), a veces con números complejos o geometría. Si en tu temario aparecen grupos y anillos, mira Estructuras Algebraicas.
- Nunca sé en qué sentido va la matriz de cambio de base. ¿Lo vemos despacio?
- Sí, es de las dudas que más se repiten. Lo vemos con un vector concreto y sus coordenadas en las dos bases, como en la pizarra de arriba, hasta que el sentido de cada matriz salga solo.
- En prácticas usamos MATLAB, Octave, Python o SageMath para las matrices. ¿También con eso?
- Sí. El programa no sustituye a las cuentas a mano, así que primero las hacemos a mano y luego vemos cómo calcular o comprobar con el programa que te pidan los autovalores, el rango o la solución de un sistema.
- ¿Me ayudas con mis prácticas y entregas?
- Sí. Vemos juntos qué te piden, cómo plantearlo y dónde te atascas, y reviso lo que vayas haciendo.