Clases particulares de Análisis Matemático

Qué asignaturas son

Esta página es para las asignaturas que se llaman así, o parecido:

• Análisis Matemático
• Análisis Matemático I
• Análisis Matemático II
• Análisis I
• Análisis II
• Análisis III
• Análisis de Variable Real
• Análisis de una Variable Real
• Introducción al Análisis Matemático
• Análisis Vectorial
• Variable Compleja
• Análisis Básico de Variable Compleja

La tienen sobre todo en Matemáticas (y en sus dobles grados con Informática, Física, Economía o Ciencia de Datos), en Física y en Ingeniería Matemática.

Cómo trabajamos

Trabajamos sobre tu material: las hojas de ejercicios, los apuntes y los exámenes de otros años de tu asignatura. El material puede estar en cualquier idioma; la clase es en castellano.

Puedes venir a clases sueltas para un tema concreto (la definición de límite, la convergencia uniforme, los teoremas de la función implícita) o seguir todo el curso, y llevar varias asignaturas a la vez. Si te falla la base, partimos de cero. Y si se acerca el examen y me lo pides, hacemos una preparación intensiva con exámenes anteriores.

En qué trabajamos más

• Números reales: supremo e ínfimo (demostrar que un número lo es), inducción y desigualdades.
• Límites con la definición: ε-δ para funciones y ε-N para sucesiones, cómo elegir δ (δ = mín{1, …}) y cómo negar la definición para probar que algo *no* tiende a un valor.
• Sucesiones y series: monotonía y acotación, sucesiones de Cauchy, criterios de convergencia y la relación entre integral impropia y serie.
• Continuidad: continuidad uniforme, funciones Lipschitz y localmente Lipschitz, y los teoremas de Bolzano, Weierstrass y del valor medio usados en demostraciones.
• Sucesiones y series de funciones: convergencia puntual frente a uniforme, criterio M de Weierstrass y continuidad del límite.
• ℝⁿ y espacios métricos: abiertos, cerrados y compactos en ℝⁿ, distancia a un conjunto y teorema del punto fijo para contracciones.
• Cálculo diferencial en varias variables con teoría: diferenciabilidad, teoremas de la función inversa y de la función implícita, y extremos condicionados.
• Análisis vectorial (sobre todo en Física): formas diferenciales y su derivada exterior, formas exactas, y los teoremas de Green, Stokes y Gauss.
• Variable compleja: ecuaciones de Cauchy-Riemann, integración compleja, series de Laurent y residuos.
• Teoría de la medida e integral de Lebesgue: σ-álgebras, medida de Lebesgue, funciones medibles y teoremas de convergencia.

Si además tienes Topología, mira Topología: comparte con Análisis los espacios métricos y la compacidad.

Si tienes ecuaciones diferenciales, mira Ecuaciones Diferenciales: el teorema de existencia y unicidad se apoya en la condición de Lipschitz.

Material descargable

Guías con ejemplos resueltos y ejercicios graduados, y formularios para tener a mano. En PDF, gratis y sin registro.

• Integrales: inmediatas, por partes y cambio de variable

  Reconocer una inmediata con su derivada fuera, integrar por partes y cuándo compensa un cambio de variable.

  Ejercicios (PDF, 8 págs.)Resueltos (PDF, 15 págs.)

• Tabla de derivadas

  Cada derivada con x y con una función dentro (regla de la cadena), reglas de operación y ejemplos.

  Descargar (PDF, 2 págs.)

• Tabla de primitivas

  Las inmediatas con x y con una función y su derivada fuera, ajuste de constantes y la regla de partes.

  Descargar (PDF, 2 págs.)

• Desarrollos de Taylor e infinitésimos equivalentes

  Los desarrollos y equivalencias que hay que saber, y cuándo usar cada uno para calcular límites.

  Descargar (PDF, 3 págs.)

Errores típicos

• Elegir un δ que depende de x, o no restringir antes δ (por ejemplo, δ ≤ 1) para acotar el factor que estorba. Es justo lo que resuelve la primera pizarra de abajo.
• Confundir Lipschitz con localmente Lipschitz, y continuidad con continuidad uniforme. Con x², la constante depende del punto: es localmente Lipschitz, pero no Lipschitz en ℝ.
• Demostrar la convergencia uniforme con la puntual. La cota de |fₙ(x) − f(x)| tiene que valer a la vez para todos los x: no puede depender de x.
• Usar un ejemplo como demostración: comprobar una desigualdad para n = 2 y darla por probada, o tomar un caso particular de un «para todo».
• Negar mal los cuantificadores al demostrar que algo no converge, no está acotado o no es Lipschitz. La negación de «para todo ε existe δ» es «existe ε tal que para todo δ…».
• Confundir supremo con máximo. El supremo no tiene por qué pertenecer al conjunto, y hay que demostrar las dos condiciones: que es cota superior y que, para todo ε, hay un elemento por encima de sup − ε.

En la pizarra: un límite con la definición ε-δ

Demostrar con la definición que el límite de (2x + 1)/(x − 1) cuando x tiende a 3 es 7/2. La clave es acotar 1/|x − 1| restringiendo antes δ, y se resuelve de dos formas: con δ = mín{1, 2ε/3} y despejando δ de la cota. Es la pizarra de una clase real.

En la pizarra: Lipschitz y localmente Lipschitz

Toda aplicación Lipschitz es continua, y también toda aplicación localmente Lipschitz: demostración con ε y δ en un espacio métrico. En la segunda, δ es el mínimo de dos cantidades, una por cada condición. Es la pizarra de una clase real.

Opiniones de alumnos de matemáticas

Son reseñas de mi perfil de ClassGap, una plataforma de clases particulares: las ponen allí, sin que yo las controle, y las he clasificado por área según la asignatura de cada una.

Preguntas frecuentes

¿En qué se diferencia Análisis Matemático de Cálculo?

En Cálculo se aprende a calcular: límites, derivadas, integrales. En Análisis hay que demostrar por qué funciona: la definición de límite con ε y δ, la continuidad uniforme o la convergencia uniforme. Muchas ingenierías llaman «Análisis Matemático» a lo primero; si es tu caso, mira Cálculo. Y al revés: en Matemáticas hay asignaturas llamadas Cálculo que son Análisis con demostraciones.

Entiendo la teoría, pero no sé cómo empezar una demostración. ¿Se puede trabajar eso?

Sí. Con los ejercicios de tu hoja: qué hay que probar exactamente, qué dice la definición y cómo se encadenan los pasos. Las demostraciones de Análisis repiten mucho los mismos recursos (elegir δ, acotar un factor, negar una definición), y se aprenden practicándolas.

Soy de Física. ¿Me sirve?

Sí. En Física el Análisis suele mezclar teoría con mucha cuenta en varias variables: funciones implícitas, integrales múltiples y los teoremas de Green, Stokes y Gauss.

¿Das también Variable Compleja?

Sí: ecuaciones de Cauchy-Riemann, integración compleja, series de Laurent y residuos, también para calcular integrales reales. Si estudias Física y la tienes dentro de Métodos Matemáticos, mira también Métodos Matemáticos para Física.

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