Clases particulares de Conjuntos y Números
¿Acabas de empezar el grado en Matemáticas y las demostraciones no te salen? Dime qué asignaturas cursas y te diré si puedo ayudarte. Sin permanencia, y con una clase de prueba gratuita.
Qué asignaturas son
Esta página es para las asignaturas que se llaman así, o parecido:
- Conjuntos y Números
- Números y Conjuntos
- Matemáticas Básicas
- Introducción al Lenguaje Matemático
- Álgebra I (aritmética y congruencias)
Es una asignatura de primer curso del grado en Matemáticas y de los dobles grados con Matemáticas (con Física, con Ingeniería Informática, con Economía o con Ciencia de Datos). En algunos planes se llama «Álgebra I» y reúne conjuntos, aritmética entera y congruencias.
Cómo trabajamos
Trabajamos sobre tu material: tus hojas de ejercicios, tus apuntes y los exámenes de otros años. El material puede estar en cualquier idioma; la clase es en castellano.
Si nunca has hecho una demostración, partimos de cero: vemos cómo se escribe cada tipo (inducción, contraejemplo, reducción al absurdo, doble inclusión) sobre los ejercicios que te piden. Puedes venir a clases sueltas o seguir todo el curso, y preparar esta asignatura junto con Cálculo u otra de primero en las mismas clases. Si se acerca el examen y me lo pides, hacemos una preparación intensiva con exámenes anteriores.
En qué trabajamos más
- Demostrar: inducción (sumatorios, desigualdades como la de Bernoulli, problemas geométricos), contraejemplos y reducción al absurdo.
- Conjuntos y aplicaciones: imagen y preimagen, aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas, y demostraciones como f(f⁻¹(Y)) ⊆ Y.
- Relaciones de equivalencia: comprobar las propiedades, describir las clases y el conjunto cociente.
- Cardinalidad: conjuntos numerables y equipotencia, como la de N × R con R.
- Números naturales, enteros y reales: buena ordenación, propiedad arquimediana, supremo y densidad de Q.
- Aritmética entera: divisibilidad, mcd y mcm, algoritmo de Euclides, ecuaciones diofánticas, números primos, congruencias, teorema chino del resto y función φ de Euler.
- Polinomios y números complejos: división, identidad de Bézout en Q[x], irreducibilidad, forma binómica y polar.
Si tu asignatura sigue con grupos y anillos, mira Estructuras Algebraicas; si es la de combinatoria, grafos y lógica de Informática, Matemática Discreta.
Errores típicos
- Dar por hecho que f(f⁻¹(Y)) = Y. Solo se tiene f(f⁻¹(Y)) ⊆ Y; la igualdad para todo Y equivale a que f sea sobreyectiva.
- Multiplicar una desigualdad sin mirar el signo en el paso inductivo. En la desigualdad de Bernoulli el paso multiplica por 1 + x, y por eso hace falta x ≥ −1, como se marca en la pizarra de abajo.
- Resolver ax + by = c sin comprobar antes que mcd(a, b) divide a c, o escribir la solución general sin haber dividido la ecuación por el mcd.
- En el paso inductivo, usar lo que se quiere demostrar: suponer P(n + 1) en vez de deducirlo de P(n).
- Describir mal las clases de equivalencia: no dar un representante de cada clase o no comprobar cuántas hay y que no se solapan.
- Creer que un conjunto infinito tiene «más» elementos que otro solo porque lo contiene: N × R es equipotente a R.
En la pizarra: demostraciones por inducción
Dos demostraciones por inducción. Es la pizarra de una clase real.
- El número de rectas que determinan n ≥ 2 puntos, sin tres alineados, es n(n − 1)/2.
- Desigualdad de Bernoulli: (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx para x ≥ −1.
En la segunda, el paso inductivo multiplica por 1 + x: por eso hace falta x ≥ −1.
Un ejercicio resuelto: una ecuación diofántica
Resolver en los enteros 243x + 198y = 9: se comprueba que tiene solución, se simplifica por el mcd y se obtiene la solución general deshaciendo el algoritmo de Euclides. Es la pizarra de una clase real.
Opiniones de alumnos de matemáticas
Son reseñas de mi perfil de ClassGap, una plataforma de clases particulares: las ponen allí, sin que yo las controle, y las he clasificado por área según la asignatura de cada una.
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Preguntas frecuentes
- Vengo de bachillerato y nunca he hecho una demostración. ¿Por dónde empezamos?
- Por lo que te piden en tu asignatura: inducción, inclusiones de conjuntos o propiedades de aplicaciones. Partimos de tus hojas de ejercicios y vamos viendo cómo se escribe cada tipo de demostración y qué se puede dar por sabido.
- En mi grado se llama «Números y Conjuntos», «Matemáticas Básicas» o «Álgebra I». ¿Es esta página?
- Si es la asignatura de primero con conjuntos, aplicaciones, relaciones, inducción y números enteros, sí. Si tu «Álgebra I» es de grupos y anillos, es Estructuras Algebraicas.
- ¿Entra la parte de congruencias y polinomios?
- Sí: divisibilidad, Euclides, ecuaciones diofánticas, congruencias, teorema chino y polinomios salen en las clases tanto como la parte de conjuntos.
- ¿Puedo preparar a la vez esta y Cálculo?
- Sí. Muchos alumnos de primero de Matemáticas las llevan juntas en las mismas clases, y en cada una decidimos a cuál dedicar el tiempo según lo que tengas más cerca.