Clases particulares de Métodos Matemáticos para Física

¿Estudias Física y te toca Métodos Matemáticos: variable compleja, residuos o ecuaciones diferenciales? Dime qué asignaturas cursas y te diré si puedo ayudarte. Sin permanencia, y con una clase de prueba gratuita.

Métodos Matemáticos no significa lo mismo en todas las facultades. En unas, Métodos Matemáticos I es variable compleja; en otras son ecuaciones diferenciales, y en algunas incluye probabilidad. Cuéntame qué temario tienes y te digo si puedo ayudarte.

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Qué asignaturas son

Esta página es para las asignaturas que se llaman así, o parecido:

  • Métodos Matemáticos
  • Métodos Matemáticos I
  • Métodos Matemáticos II
  • Métodos Matemáticos III
  • Métodos Matemáticos de la Física

La tienen en Física y en sus dobles grados (con Matemáticas, con Ingeniería de Materiales…).

Cómo trabajamos

Trabajamos sobre tu material: las hojas de problemas, los apuntes y los exámenes de otros años de tu asignatura. El material puede estar en cualquier idioma; la clase es en castellano.

Puedes venir a clases sueltas para un tema concreto o seguir todo el curso, y llevar varias asignaturas a la vez. Y si se acerca el examen y me lo pides, hacemos una preparación intensiva con exámenes anteriores.

En qué trabajamos más

  • Números complejos: forma polar y exponencial, raíces n-ésimas y argumento principal.
  • Funciones de variable compleja: derivabilidad, ecuaciones de Cauchy-Riemann y funciones holomorfas; exponencial, logaritmo, potencias y raíces, con sus ramas.
  • Integración compleja: teorema y fórmula integral de Cauchy, con fracciones simples para repartir el integrando entre varios contornos.
  • Series de potencias y de Laurent: radio de convergencia y clasificación de singularidades (evitables, polos y esenciales).
  • Teorema de los residuos e integrales reales: racionales, con senos y cosenos (lema de Jordan) y con polos en el eje real (contorno indentado).
  • Principio del argumento: contar los ceros de un polinomio en un semiplano.
  • Ecuaciones diferenciales, en las facultades donde Métodos las incluye: de primer orden, lineales de orden 2, soluciones en serie de potencias y método de Frobenius.
  • Probabilidad, en las asignaturas de Métodos que la incluyen: variables aleatorias y distribuciones como la binomial y la de Poisson.
  • Ecuaciones en derivadas parciales (ecuación de ondas y fórmula de d'Alembert, separación de variables y series de Fourier), problemas de Sturm-Liouville y transformada de Fourier.

Si tu asignatura es solo de ecuaciones diferenciales ordinarias, mira también Ecuaciones Diferenciales.

Si la probabilidad de tu asignatura va más allá de las distribuciones básicas, mira Probabilidad.

Material descargable

Guías con ejemplos resueltos y ejercicios graduados, y formularios para tener a mano. En PDF, gratis y sin registro.

Errores típicos

  • Tratar el logaritmo complejo como el real: dar por buenas log(zⁿ) = n·log z o log(e^z) = z sin mirar en qué rama está el argumento.
  • Integrar cos x / (x⁴ + 1) con cos z sobre la semicircunferencia: cos z crece en el semiplano superior. Se usa e^(iz), que allí está acotada por 1, y al final se toma la parte real.
  • Con un polo en el eje real, olvidar la semicircunferencia pequeña, que aporta πi·Res y no 2πi·Res, como en la pizarra de abajo.
  • Escribir la integral de e^(ix)/x entre 0 e ∞ como si existiera: no converge en 0. Lo que se suma son los dos tramos del eje, y juntos dan 2i·sen x / x.
  • Calcular mal el radio de convergencia de una serie geométrica compuesta, como la de 1/(1 − 2z): la condición es |2z| < 1, es decir, |z| < 1/2.
  • Clasificar una singularidad solo mirando el denominador: sin desarrollar en serie no se ve si un cero del numerador la convierte en evitable.

En la pizarra: ∫ sen x / x por residuos

Se prueba que la integral de sen x / x entre 0 e ∞ vale π/2 integrando e^(iz)/z sobre un rectángulo apoyado en el eje real que esquiva el polo del origen con una semicircunferencia pequeña. Debajo, la integral de x/(4 + x⁴) entre 0 e ∞, con un cambio de variable y residuos. Es la pizarra de una clase real.

El paso que junta los dos tramos del eje real y acota los otros tres lados del rectángulo está pasado a limpio: en la clase se escribió de forma abreviada.

Pizarra de clase: contorno rectangular de −R a R sobre el eje real, con una semicircunferencia pequeña C_r que esquiva el origen, formado por los tramos C₁ y C₂ del eje real, la semicircunferencia C_r y los otros tres lados del rectángulo, C_R; la integral de e^(iz)/z sobre el contorno cerrado es 0, los lados verticales y el superior tienden a 0 y la semicircunferencia pequeña aporta πi, de donde 2i por la integral de sen x / x menos πi es 0 y la integral vale π/2; después, la integral de x/(4 + x⁴) entre 0 e ∞, con el cambio x² = t y el residuo en 2i, que vale π/8

Opiniones de alumnos de matemáticas

Son reseñas de mi perfil de ClassGap, una plataforma de clases particulares: las ponen allí, sin que yo las controle, y las he clasificado por área según la asignatura de cada una.

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Preguntas frecuentes

En mi facultad, Métodos Matemáticos I son ecuaciones diferenciales y no variable compleja. ¿Me sirve?
Sí. El nombre cambia de una facultad a otra; lo que importa es tu temario. Cuéntamelo al pedir la clase de prueba.
Mi asignatura de Métodos incluye una parte de probabilidad. ¿También la trabajamos?
Sí, también la trabajamos: variables aleatorias, binomial, Poisson y las demás distribuciones que te pidan.
Me cuesta ver qué contorno elegir para una integral real. ¿Se trabaja eso?
Sí: por qué una semicircunferencia o un rectángulo, cuándo hay que esquivar un polo, qué función compleja conviene integrar y cómo se prueba que el resto del contorno no aporta.
¿Me ayudas con mis prácticas y entregas?
Sí. Vemos juntos qué te piden, cómo plantearlo y dónde te atascas, y reviso lo que vayas haciendo.

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