Clases particulares de Topología
¿Tienes Topología, Topología General o Topología de Espacios Métricos? Dime qué asignaturas cursas y te diré si puedo ayudarte. Sin permanencia, y con una clase de prueba gratuita.
Qué asignaturas son
Esta página es para las asignaturas que se llaman así, o parecido:
- Topología
- Topología General
- Topología de Espacios Métricos
La tienen sobre todo en Matemáticas, en segundo o tercer curso, y en Matemática Computacional e Ingeniería Matemática (también en su doble grado con Economía).
Cómo trabajamos
Trabajamos sobre tu material: las hojas de ejercicios, los apuntes y los exámenes de otros años de tu asignatura. El material puede estar en cualquier idioma; la clase es en castellano.
Puedes venir a clases sueltas para un tema concreto (las bases, la compacidad, los cocientes) o seguir todo el curso, y llevar varias asignaturas a la vez. Si te falla la base, partimos de cero. Y si se acerca el examen y me lo pides, hacemos una preparación intensiva con exámenes anteriores.
En qué trabajamos más
- Construir y comparar topologías: base y subbase, cuándo una familia es base, y topologías más finas o menos finas.
- Las topologías «raras» de ℝ y ℕ como banco de contraejemplos: cofinita, del punto incluido, de Sorgenfrey (la de los intervalos [a, b)) y discreta.
- Interior, clausura, frontera y puntos de acumulación, calculados en esas topologías y en ℝⁿ.
- Convergencia de sucesiones: cómo depende de la topología, límites que no son únicos fuera de los espacios de Hausdorff y por qué en ellos el límite es único.
- Axiomas de separación y espacios métricos: espacios de Hausdorff, distancias y la topología inducida por una distancia.
- Continuidad: caracterizaciones equivalentes (antiimágenes de abiertos y de cerrados, f(Ā) ⊆ cl f(A)), homeomorfismos e inmersiones.
- Compacidad y conexión: compactos en espacios de Hausdorff, intersecciones de compactos, conexos y componentes conexas.
- Productos y cocientes: topología producto y cocientes como el cilindro o el toro.
- Topología algebraica: homotopía, retractos de deformación y grupo fundamental.
Si además tienes Análisis, mira Análisis Matemático: comparte con Topología los espacios métricos y los compactos de ℝⁿ.
Errores típicos
- Llevar la intuición de ℝ a cualquier espacio: suponer que una sucesión tiene un único límite, que los compactos son cerrados o que 1/n solo puede converger a 0. En la topología de Sorgenfrey, la pizarra de abajo comprueba a qué converge 1/n.
- Comprobar los axiomas de base con un ejemplo en vez de con elementos genéricos: para todo x ∈ B₁ ∩ B₂ tiene que existir un B₃ de la base con x ∈ B₃ ⊆ B₁ ∩ B₂.
- Confundir «no abierto» con «cerrado». Un conjunto puede ser las dos cosas a la vez, o ninguna, como U₄ en la segunda pizarra.
- Usar la topología usual en lugar de la que da el enunciado: tomar entornos simétricos (x − ε, x + ε) en la de Sorgenfrey, donde los entornos básicos son [x, x + ε).
- Demostrar la continuidad con ε y δ en un espacio que no es métrico, en vez de con antiimágenes de abiertos o con clausuras.
En la pizarra: una sucesión en la topología de Sorgenfrey
En ℝ con la topología generada por los intervalos [a, b), la sucesión 1/n converge a 0 y a ningún otro número. Se usa la definición topológica de límite, con entornos, y no la métrica. Es la pizarra de una clase real.
En la pizarra: una subbase de ℝ
La familia de intervalos cerrados [n, n + 1], con n entero, es subbase de una topología de ℝ. En ella, (0, 1) es cerrado, {±1} es abierto y {±√2} no es ni abierto ni cerrado. Es la pizarra de una clase real.
![Pizarra de clase: todo x real está en [⌊x⌋, ⌊x⌋ + 1]; el complementario de (0, 1) es abierto, así que (0, 1) es cerrado; {±1} es unión de intersecciones de elementos de la subbase; todo abierto que contiene a √2 contiene a [1, 2], así que {±√2} no es abierto, y su complementario tampoco lo es](/pizarras/pizarra-topologia-subbase-1.webp)
Opiniones de alumnos de matemáticas
Son reseñas de mi perfil de ClassGap, una plataforma de clases particulares: las ponen allí, sin que yo las controle, y las he clasificado por área según la asignatura de cada una.
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Preguntas frecuentes
- Mi asignatura es Topología de Espacios Métricos. ¿Me sirve?
- Sí: distancias, bolas, la topología inducida por una distancia, completitud y compacidad en espacios métricos.
- ¿Hace falta haber llevado bien el Análisis?
- Ayuda, sobre todo la parte de ℝⁿ (abiertos, cerrados, compactos), pero lo que falte lo repasamos cuando aparezca. Si tienes Análisis a la vez, mira también Análisis Matemático.
- En mis hojas salen topologías muy raras: la cofinita, la de Sorgenfrey, la del punto incluido. ¿Las vemos?
- Sí. Son el banco de contraejemplos de casi todas las hojas: en ellas una sucesión puede tener varios límites, un conjunto puede ser abierto y cerrado a la vez y un compacto puede no ser cerrado. Compararlas con ℝ es lo que deja ver qué depende de la topología y qué no.