Es la primera asignatura en la que todo son demostraciones. ¿Me ayudas con eso, y no solo con los ejercicios?

Sí. Buena parte del trabajo es aprender a plantear la demostración: qué hay que comprobar, en qué orden y cómo se escribe. Lo practicamos con los ejercicios de tus hojas.

En mi grado se llama «Álgebra I» o «Álgebra Básica». ¿Es esta página?

Si el temario empieza por grupos o anillos, sí. Si es de conjuntos, divisibilidad y congruencias, es Conjuntos y Números; si es de matrices y espacios vectoriales, Álgebra Lineal. Dime qué temario tienes y lo vemos.

¿Sirve también para la parte de anillos y polinomios?

Sí: ideales, anillos cociente, dominios y criterios de irreducibilidad salen en las clases tanto como los grupos.

Estudio Informática y mi asignatura incluye álgebras de Boole y retículos. ¿También?

Sí. Vemos las propiedades de un álgebra de Boole, cómo simplificar expresiones y los retículos con sus diagramas de Hasse, junto con la parte de grupos que tenga tu asignatura.

Clases particulares de Estructuras Algebraicas

¿Estudias grupos, anillos o cuerpos y no ves por dónde empezar una demostración? Dime qué asignaturas cursas y te diré si puedo ayudarte. Sin permanencia, y con una clase de prueba gratuita.

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Qué asignaturas son

Esta página es para las asignaturas que se llaman así, o parecido:

Estructuras Algebraicas
Álgebra I (grupos y anillos)
Álgebra III
Álgebra Básica
Álgebra Conmutativa
Fundamentos de Álgebra

La tienen el grado en Matemáticas, Ingeniería Matemática y los dobles grados con Matemáticas. En algunos planes de Ingeniería Informática también hay una «Estructuras Algebraicas», que suele incluir álgebras de Boole y retículos.

Cómo trabajamos

Trabajamos sobre tu material: tus hojas de ejercicios, tus apuntes y los exámenes de otros años. El material puede estar en cualquier idioma; la clase es en castellano.

Aquí casi todo son demostraciones, así que buena parte de la clase es ver qué hay que comprobar y en qué orden, y escribirlo bien. Puedes venir a clases sueltas para un tema concreto o seguir todo el curso, y llevar varias asignaturas a la vez. Si se acerca el examen y me lo pides, hacemos una preparación intensiva con exámenes anteriores.

En qué trabajamos más

Grupos: subgrupos, orden de un elemento, grupos cíclicos, diédricos y de permutaciones, y comprobar si un subconjunto es un subgrupo.
Subgrupos normales, grupo cociente y homomorfismos: por qué el cociente está bien definido, núcleo e imagen, y los teoremas de isomorfía.
Acciones de grupos: órbitas y estabilizadores, ecuación de clases, centralizadores y el centro de un p-grupo.
Teoremas de Sylow y clasificación de grupos de orden pequeño con productos directos y semidirectos; grupos abelianos finitos.
Grupos resolubles: serie derivada, y los grupos simétrico y alternado.
Anillos: Z/nZ y sus unidades, ideales primos y maximales, anillos cociente, y dominios euclídeos, de ideales principales y de factorización única.
Polinomios: irreducibilidad (Eisenstein, reducción módulo p) y factorización en Q[x], R[x], C[x] y en cuerpos finitos.
Álgebras de Boole y retículos, en las asignaturas de Ingeniería Informática que los incluyen.
Cuerpos y teoría de Galois: extensiones, grado, cuerpo de descomposición y grupo de Galois.

Si tu asignatura es la de primero con conjuntos, divisibilidad y congruencias, mira Conjuntos y Números; si es de matrices y espacios vectoriales, Álgebra Lineal.

Errores típicos

Operar en G/H sin comprobar que la operación está bien definida. Que el producto de clases no dependa del representante es justo lo que exige que H sea normal, como en la pizarra de abajo.
Dar por subgrupo un subconjunto comprobando solo que es cerrado, sin el neutro ni los inversos. En un grupo infinito, cerrado no basta.
Confundir Hg = gH con hg = gh. La igualdad de clases laterales es de conjuntos, no elemento a elemento: un subgrupo normal no tiene por qué conmutar con todo.
«No tiene raíces, luego es irreducible». Solo vale en grado 2 y 3: x⁴ + 3x² + 4 no tiene raíces reales y, aun así, es producto de dos polinomios de grado 2.
Proponer un isomorfismo sin comprobar que la aplicación es biyectiva, o sin comprobar antes que la estructura de partida es un grupo (R con a ∗ b = a − b, por ejemplo, no lo es).
Con Sylow, concluir que un subgrupo es normal sin haber forzado nₚ = 1 con las dos condiciones: nₚ ≡ 1 (mod p) y nₚ divide al índice.

En la pizarra: grupo cociente

Por qué G/H es un grupo cuando H es normal: la operación está bien definida y se comprueban el neutro, el inverso y la asociatividad. Después, homomorfismo, núcleo, imagen y algunas propiedades. Es la pizarra de una clase real.

Pizarra de clase, página 1: clases laterales Hg y gH, definición de subgrupo normal (Hg = gH para todo g, o H = gHg⁻¹), y la comprobación de que G/H con Hg ∗ Hg′ = H(gg′) es un grupo: la operación no depende del representante gracias a la normalidad, y después neutro, inverso y asociatividad

Pizarra de clase, página 2: definición de homomorfismo con el ejemplo f(n) = 2n en Z; el núcleo es un subgrupo normal y f es inyectivo si y solo si el núcleo es trivial; la imagen es un subgrupo; y algunas propiedades: f(e) = e′, imágenes y preimágenes de subgrupos, y el orden de f(x) divide al de x

Un ejercicio resuelto: grupos de orden 175

Demostrar que todo grupo de orden 175 = 5²·7 es abeliano. Los teoremas de Sylow dan un único subgrupo de cada orden, los dos normales, y el grupo es su producto directo. Es la pizarra de una clase real.

Pizarra de clase: con 175 = 5²·7, n₅ ≡ 1 (mod 5) y n₅ divide a 7, luego n₅ = 1; n₇ ≡ 1 (mod 7) y n₇ divide a 25, luego n₇ = 1. Los dos subgrupos de Sylow son normales y se cortan en el neutro, así que G es su producto directo, y los dos factores son abelianos

Opiniones de alumnos de matemáticas

Son reseñas de mi perfil de ClassGap, una plataforma de clases particulares: las ponen allí, sin que yo las controle, y las he clasificado por área según la asignatura de cada una.

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Preguntas frecuentes

Es la primera asignatura en la que todo son demostraciones. ¿Me ayudas con eso, y no solo con los ejercicios?: Sí. Buena parte del trabajo es aprender a plantear la demostración: qué hay que comprobar, en qué orden y cómo se escribe. Lo practicamos con los ejercicios de tus hojas.
En mi grado se llama «Álgebra I» o «Álgebra Básica». ¿Es esta página?: Si el temario empieza por grupos o anillos, sí. Si es de conjuntos, divisibilidad y congruencias, es Conjuntos y Números; si es de matrices y espacios vectoriales, Álgebra Lineal. Dime qué temario tienes y lo vemos.
¿Sirve también para la parte de anillos y polinomios?: Sí: ideales, anillos cociente, dominios y criterios de irreducibilidad salen en las clases tanto como los grupos.
Estudio Informática y mi asignatura incluye álgebras de Boole y retículos. ¿También?: Sí. Vemos las propiedades de un álgebra de Boole, cómo simplificar expresiones y los retículos con sus diagramas de Hasse, junto con la parte de grupos que tenga tu asignatura.

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